my_projects: Фактори моделювання

Фактор моделі - це певна величина, значення якої істотно впливає на досліджуване явище. Фактично фактори моделі - це особливості об'єктів, що входять в модельовану систему.

Фактори моделі зазвичай поділяють на три категорії:

♦ вхідні параметри;

♦ проміжні параметри;

♦ вихідні параметри.

Вхідні параметри моделі - це величини, відомі до початку експерименту. Основною ознакою вхідних параметрів є те, що дослідник може сам визначати їх значення.

Вихідні параметри - це величини, які дослідник одержує після проведення експерименту з моделлю і які потрібні йому для вирішення поставленого завдання.

Проміжними називають параметри моделі, використовувані у внутрішніх розрахунках.

Розглянемо властивості об'єктів, необхідні нам для моделювання:

Об'єкт	Властивості
Куля	Маса Розмір Положення Швидкість Дальность свободного падения по горизонту Высота над горизонтом на расстоянии, на котором расположена цель Максимальна высота подъема пули
Земля	Прискорення вільного падіння
Ціль	Горизонтальна дальність до цілі Размер цели
Повітря	Напрямок та швидкість вітру Плотность

Початкове положення кулі

Оскільки ми можемо вибрати довільну систему координат, приймемо, що початок координат (точка О) збігається з початковим положенням кулі в момент вильоту зі ствола зброї. Розглянемо процес пострілу у вертикальній площині пострілу, тому положення кулі задамо двома координатами, x і у, за одиницю координат візьмемо 1 метр. Таким чином, положення кулі в початковий момент, визначається точкою з координатами (0 , 0) .

♦ Швидкість кулі.

Швидкість є векторною величиною. Один із способів задати вектор полягає в тому, щоб задати його напрямок і скалярне значення - довжину, тому в моделі будемо розглядати швидкість як сукупність двох значень, а саме кута кидання кулі (0-90 °, b) і швидкості (0-2000 м / с, v).

♦ Прискорення вільного падіння визначає вплив, який чинить на кулю сила тяжіння.

Для Землі його значення становить 9,8 м/с²; цей параметр можна зробити змінним (0-20 м/с², g).

♦ Горизонтальна дальність до цілі (0-2000 м, L).

♦ Вертикальний розмір цілі (0-20 м, d).

♦ Швидкість вітру . Вітер суттєво впливає на політ кулі , викликаючи її бічне знесення на відстанях, що перевищують 400 м , вплив вітру на менших відстанях не такий істотний. Для спрощення будемо розглядати тільки вітер , що дме в напрямку , паралельному лінії від стрільця до цілі, причому він може бути як попутним , так і зустрічним . Отже, щоб задати швидкість вітру вказуємо одне значення - величину швидкості , а її знак буде вказувати напрям ( -30 - +30 м / с , wind ) .

♦ Щільність повітря. Цей параметр змінюється в результаті зміни атмосферного тиску, вологості і температури повітря. Ми приймемо, що атмосферний тиск становить 101 325 Па, при цьому спостерігається така залежність величини щільності повітря від температури:

Температура	Щільність повітря
-25 ° С	1,424 кг/м³
0 ° С	1,2929 кг/м³
20 ° С	1,2047 кг/м³
225 ° С	0,7083 кг/м³

Визначення вихідних параметрів

Чотири параметра, які ми отримаємо, це:

♦ факт влучення (0 - потрапили, -1 - недоліт, 1 - переліт)- shot;

♦ дальність вільного польоту кулі до горизонту - L/ mах;

♦ висота кулі над горизонтом на тій відстані, на якому розташована ціль – H_trg;

♦ Максимальна висота підйому кулі – Н_m_ах.

Проміжні параметри

Проміжні параметри використовуються в моделі для розрахунків. Для імітаційного моделювання руху об'єкта (кулі) на площині нам знадобляться проекції швидкості на вісі координат - Vх, Vу, а також проекції прискорення - ах, ау. Проміжними параметрами будуть також всі вимірювані нами сили.

Створення математичної моделі

Розглянемо політ кулі в повітрі над земною поверхнею в двовимірному просторі. Тому для відстеження руху кулі скористаємося проекціями миттєвих значень її параметрів на вісі координат.
♦ Проекціями положення кулі будуть вертикальна і горизонтальна її координати х і у.

♦ Проекціями швидкості кулі будуть вертикальна і горизонтальна складові швидкості - vx і vy.

♦ Проекціями прискорення кулі будуть вертикальна і горизонтальна складові прискорення - ах і ау.

♦ Проекціями сумарної сили, діючої на кулю, будуть вертикальна і горизонтальна складові сумарної сили – F_х і F_у.

Обчислимо значення всіх змінних параметрів моделі в часі, введемо змінну часу t. Для процесу, що відбувається в часі, можна визначити значення всіх його параметрів у будь-який момент часу. Чим менше проміжок часу обраний, тим вище точність моделювання, але тим більше обчислень необхідно виконати, щоб відстежити поведінку системи протягом одного і того ж проміжку часу.

Математична модель для імітаційного моделювання забезпечить можливість визначати стан моделі в послідовні моменти часу шляхом обчислення значень відповідних параметрів. Послідовність виконуваних при цьому операцій повинна бути такою:

- на вхід імітаційної моделі введемо початкові значення всіх параметрів.

- за допомогою формул обчислюються нові значення всіх параметрів, що змінилися за проміжок часу.

- перевіримо умови завершення моделювання, якщо вони не виконуються, повертаємося до кроку 2.

Запишемо формули для обчислення початкових значень проекції параметрів, а також формули для розрахунку їх змін. Початкові значення положення і швидкості кулі обчислюються за формулами:

Формула початкового часу для обчислення початкових значень проекції параметрів, а також формули для розрахунку їх змін. Початкові значення положення і швидкості кулі обчислюються за формулами:

(1)

Формула початкового часу

(2)

(3)

t₀=0

Формула початкової координати по осі Охx₀=0

Формула початкової координати по осі Оу

(4)

y₀=0

Формула початкової швидкості по осі Ох

v x₀ = v₀ • cosb

Формула початкової швидкості по осі Оу

(5)

v y₀ = v₀ • sinb

Прискорення і силу в початкового моменту часу не розглядаємо, оскільки їх дія вже вплинула на значення положення і швидкості.

(6)

З'ясуємо, що відбувається з кулею в часі. Якби на кулю не діяли ніякі зовнішні сили, ми отримали б звичайну модель рівномірного руху:

x_n₊₁ = x_n + v x₀ dt

(7)

Формула початкової швидкості по осі Ох при рівномірному русі

y_n₊₁ = y_n + v y₀ dt

(8)

Формула початкової швидкості по осі Оу при рівномірному русі

t_n₊₁ = t_n + dt

Формула початкового часу при рівномірному русі
Швидкість при цьому незмінна.

Це досить проста модель, але в нашому випадку на кулю діють зовнішні сили: сила тяжіння і сила опору повітря. Тому необхідно врахувати їх вплив на політ кулі.

У випадку невеликих відстаней, які зазвичай пролітають кулі, земну поверхню можна вважати горизонтальною площиною, а силу тяжіння - спрямованої вниз, в від’ємному напрямку осі ОУ. Тому сила тяжіння буде впливати тільки на вертикальні проекції параметрів кулі.

(9)

Формула Сили тяжкості:

F_тяж=mg

де m - маса кулі; g - прискорення вільного падіння.

Оскільки з плином часу ні маса кулі, ні прискорення вільного падіння не змінюються, сила тяжіння є постійною величиною, яку можна розрахувати один раз - на початку моделювання.

Якщо силу опору повітря не розглядати, то модель набуде такого вигляду:

(10)

Формула початкової швидкості по всі Ох, не враховуючи опір повітря

x_n₊₁ = x_n + v x₀ dt

(11)

Формула початкової швидкості не враховуючи опір повітря

vy_n₊₁ = vy_n - g dt

(12)

Формула початкової швидкості по вісі Оу без урахування опору повітря

(13)

y_n₊₁ = y_n + v y₀ Формула початкового часу не враховуючи опір повітря

t_n+1 = t_n + dt

Розглянемо випадок рівноприскореного руху уздовж вісі Оу, тому до моделі було додано формулу зміни вертикальної швидкості, де враховується прискорення вільного падіння, викликане силою тяжіння

Малюнок №3 Рівноприскорений рух уздовж осі Оу

У завданні вказано, що потрібно врахувати опір повітря, тому розглянемо це питання докладніше.

Сила лобового опору повітря зазвичай визначається як сума двох складових: опору при нульовій підйомній силі і індуктивного опору. Кожна складова характеризується своїм безрозмірним коефіцієнтом опору і певній залежності від швидкості руху.

Опір при нульовій підйомній силі не залежить від величини створюваної підйомної сили і є результатом спільної дії профільного опору рухомого об'єкту, тертя бокових частин і хвильового опору.

Індуктивний опір виникає в результаті того, що частина енергії руху перетворюється на підйомну силу. Обтікання сферичної кулі потоком повітря буде симетричним, і підйомної силою можна знехтувати.

Напрям сили опору повітря завжди протилежний напрямку руху об'єкта.

Для нашого випадку справедлива формула:

(14)

Формула розрахунок сили опору повітря протилежного напрямку руху об'єкта, де F_oп - сила опору повітря без урахування підйомної сили; С_х - безрозмірний коефіцієнт опору повітря, який залежить від форми; тіла у разі сферичної кулі від дорівнює 0,4 S - характерна площа тіла, на яке набігає потік повітря, для сферичної кулі - площа поперечного перерізу, v - швидкість руху тіла відносно повітря.

У цій формулі використовується повна швидкість на площину, а не її проекції на осі координат. Повна швидкість визначається по теоремі Піфагора:

(15)

Формула Повна швидкість кулі

Оскільки швидкість кулі весь час змінюється, сила опору повітря змінюється також, тому розраховуємо її у кожен проміжок часу. Сумарна сила, що діє на кулю, буде тепер складатися: сила тяжіння і сили опору повітря. Причому, якщо сила тяжіння тримає у-складову, сила опору повітря діє під кутом, тобто її необхідно розкласти на х-і у-складові. Загальна сила опору повітря обчислюється за формулою: